Matematica si Formule: TRIUNGHIUL SI FUNCTI TRIGONOMETRICE

TRIUNGHIUL

Clasificarea triunghiurilor:

Un triunghi cu toate laturile congruente se numește triunghi echilateral

Triunghi obtuzunghic.

Triunghi dreptunghic.

Un triunghi cu două laturi congruente se numește triunghi isoscel

Un triunghi care are laturile de lungimi diferite se numește triunghi scalen.

Puncte, linii, drepte în triunghi

Centrul cercului circumscris

Intersecția celor trei mediatoare (perpendiculare pe mijlocul fiecărei laturi) ale triunghiului respectiv .

Centrul cercului înscris

Intersecția celor trei bisectoare ale unghiurilor interne triunghiului.

Ortocentru

Intersecția celor trei înălțimi ale triunghiului sau locul unde se intalnesc acestea.

Centru de greutate

Intersecția celor trei mediane ale triunghiului.

Linia mijlocie este segmentul determinat de mijloacele a două laturi ale triunghiului. Lungimea acesteia este egală cu jumătate din lungimea laturii cu care este paralelă.

Ortocentrul, centrul de greutate și centrul cercului circumscris triunghiului sunt coliniare, formând dreapta lui Euler.

Centrul de greutate se află pe fiecare mediană se află la 2/3 de vârf și la 1/3 de bază.

Mediatoare

Mediatoarea este perpendiculara dusă prin mijlocul unui segment.

Mediană

Mediana este segmentul de dreaptă care unește un vârf al unui triunghi cu mijlocul laturii opuse.

Înălțime

Înălțimea este segmentul determinat de un vârf al unui triunghi și piciorul perpendicularei duse din acel vârf pe latura opusă sau pe prelungirea ei.

Bisectoare

Bisectoarea este semidreapta interioara unghiului ce imparte unghiul in 2 unghiuri congruente

Asemănarea triunghiurilor

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile corespunzătoare congruente și laturile corespunzătoare proporționale.

Criterii de asemănare[modificare]

Criteriul U.U. (unghi-unghi): Două triunghiuri care au două perechi de unghiuri congruente, sunt asemenea.
Criteriul L.U.L. (latură-unghi-latura): Dacă două triunghiuri au două laturi proporționale si un unghi congruent, atunci triunghiurile sunt asemenea.
Criteriul L.L.L. (latură-latură-latură): Dacă două triunghiuri au laturile corespunzătoare proporționale, atunci cele două triunghiuri sunt asemenea.

Congruența triunghiurilor[modificare]

Două triunghiuri sunt congruente dacă au toate cele trei laturi congruente.

Criterii de congruență[modificare]

Criteriul L.U.L. (latură-unghi-latură): Dacă două laturi și unghiul determinat de ele dintr-un triunghi sunt congruente cu elementele corespunzătoare din alt triunghi, atunci cele 2 triunghiuri sunt congruente.
Criteriul U.L.U. (unghi-latură-unghi): Dacă o latură și unghiurile alăturate ei dintr-un triunghi sunt congruente cu elementele corespunzătoare lor din alt triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt congruente.
Criteriul L.L.L. (latură-latură-latură): Dacă cele trei laturi dintr-un triunghi sunt congruente cu laturile corespunzătoare lor din alt triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt congruente.

Congruența triunghiurilor dreptunghice[modificare]

Cazul C.C. (catetă-catetă): două triunghiuri dreptunghice care au catetele congruente, sunt congruente.
Cazul C.U. (catetă-unghi): două triunghiuri dreptunghice care au câte o catetă și câte un unghi ascuțit congruent,sunt congruente.
Cazul I.U. (ipotenuză-unghi): două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele congruente și o pereche de unghiuri ascuțite congruente, sunt congruente.
Cazul I.C. (ipotenuză-catetă): două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele congruente și o pereche de catete congruente, sunt congruente.

Rapoarte constante între elemente ale unui triunghi dreptunghic[modificare]

Rapoartele constante în triunghiul dreptunghic sunt: sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta. Acestea se mai numesc și funcții trigonometrice.

Sinusul măsurii unui unghi, este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului și lungimea ipotenuzei:

$sin X= \frac {Cateta Opusa}{Ipotenuza}$

Cosinusul măsurii unui unghi, este raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului și lungimea ipotenuzei:

$cos X= \frac {Cateta Alaturata}{Ipotenuza}$

Tangenta măsurii unui unghi este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului și lungimea catetei alăturate unghiului:

$tg X= \frac {Cateta Opusa}{Cateta Alaturata}$

Cotangenta măsurii unui unghi este raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului și lungimea catetei opuse unghiului:

$ctg X= \frac {Cateta Alaturata}{Cateta Opusa}$

Fie X măsura unui unghi, iar (90°-X) măsura complementului său. Atunci au loc următoarele relații:

$sin X = cos (90^\circ-X) \!$

$cos X = sin (90^\circ-X) \!$

$tg X= ctg (90^\circ-X) \!$

$ctg X= tg (90^\circ-X) \!$

Relații[modificare]

$sin30^\circ=cos60^\circ= \frac {1}{2}$ $cos30^\circ=sin60^\circ= \frac {\sqrt {3}}{2}$

$tg30^\circ=ctg60^\circ= \frac {\sqrt {3}}{3}$ $ctg30^\circ=tg60^\circ= \sqrt 3$

$sin45^\circ=cos45^\circ= \frac {\sqrt {2}}{2}$

$tg45^\circ=ctg45^\circ=1 \!$

$sin0^\circ=cos90^\circ=0$ $cos0^\circ=sin90^\circ=1$

$tg0^\circ=ctg90^\circ=0$ $ctg0^\circ=tg90^\circ=\infty$

Formule trigonometrice[modificare]

$tg X= \frac {sin X}{cos X}$

$ctg X= \frac {cos X}{sin X}$

$tg X= \frac {1}{ctg X}$

$tg X \cdot ctg X=1$

Formula fundamentală a trigonometriei:

$sin^2X + cos^2X = 1 \!$

Reguli, proprietăți, teoreme aplicabile triunghiului

În orice triunghi suma măsurilor unghiurilor interne este de 180°.

Un triunghi are șase unghiuri externe, congruente două câte două.

Într-un triunghi isoscel unghiurile alăturate bazei sunt congruente.

Într-un triunghi dreptunghic unghiurile ascuțite sunt complementare.

Într-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare decât oricare din lungimile celor două catete.

Într-un triunghi oarecare, între două laturi: laturii mai mari i se opune un unghi mai mare decât cel care se opune laturii mai mici.

Într-un triunghi ascuțitunghic centrul cercului circumscris se găsește în interiorul triunghiului.

Într-un triunghi obtuzunghic centrul cercului circumscris se găsește în exteriorul triunghiului.

Într-un triunghi dreptunghic centrul cercului circumscris coincide cu mijlocul ipotenuzei.

Cercul înscris într-un triunghi intersectează (atinge) fiecare latură într-un singur punct, numit punct de tangență.

Într-un triunghi se pot construi trei linii mijlocii.

PROPRIETATEA LINIEI MIJLOCII:într-un triunghi linia mijlocie este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului, și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia.

Dacă triunghiul este ascuțitunghic atunci ortocentrul se găsește în interiorul triunghiului.

Ortocentrul triunghiului obtuzunghic se găsește în exteriorul triunghiului.

Ortocentrul triunghiului dreptunghic coincide cu vârful unghiului drept.

PROPRIETATEA CENTRULUI DE GREUTATE:într-un triunghi centrul de greutate se găsește pe fiecare mediană la două treimi de vârf și la o treime față de bază.

Două triunghiuri congruente vor fi mereu echivalente. Reciproca nu este valabilă.

Într-un triunghi, mediana unei laturi împarte triunghiul în 2 triunghiuri echivalente, având fiecare jumătate din aria triunghiului inițial.

TEOREMĂ:Într-un triunghi oarecare măsura unui unghi exterior triunghiului este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare nealăturate. Un unghi exterior unui triunghi este mai mare decât oricare din unghiurile interne nealăturate.

TEOREMĂ:În orice triunghi înălțimile sunt concurente, mediatoarele sunt concurente, medianele sunt concurente și bisectoarele sunt concurente.

TEOREMĂ:În orice triunghi produsul dintre lungimea înălțimii și lungimea laturii corespunzatoare ei este constant.

TEOREMĂ:În orice triunghi bisectoarea interioară a unui unghi împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile ce formează unghiul.

TEOREMĂ:într-un triunghi isoscel unghiurile alăturate bazei sunt congruente.

TEOREMĂ:într-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului de la vârf, mediana și înălțimea bazei coincid și sunt inclusive mediatoarei bazei.

TEOREMĂ:într-un triunghi isoscel medianele corespunzătoare laturilor congruente, sunt congruente.

TEOREMĂ:într-un triunghi isoscel înălțimile corespunzătoare laturilor congruente, sunt congruente.

TEOREMA BISECTOAREI:bisectoarea unui unghi al unui triunghi, determină pe latura opusă unghiului segmente proporționale cu laturile care formează unghiul.

TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII:o paralelă dusă la una din laturile unui triunghi, formează cu celelalte două laturi, sau cu prelungirile lor, un triunghi asemenea cu triunghiul dat.

Dacă două triunghiuri sunt asemenea, atunci raportul lor de asemănare este egal cu raportul înălțimilor corespunzătoare, a bisectoarelor corespunzătoare, a medianelor corespunzătoare.

Dacă două triunghiuri sunt asemenea atunci, pătratul raportului de asemănare este egal cu raportul mărimilor celor două triunghiuri.

PROPRIETĂȚI DE ASEMĂNARE:orice triunghi este asemenea cu el însuși; dacă triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A₁B₁C₁, iar triunghiul

A₁B₁C₁ este asemenea cu triunghiul A₂B₂C₂, atunci și triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul

A₂B₂C₂; dacă triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A₁B₁C₁, atunci și triunghiul

A₁B₁C₁ este asemena cu triunghiul ABC; două triunghiuri congruente sunt întotdeauna asemenea(reciproca nu este valabila); 2 triunghiuri

echilaterale sunt întotdeauna asemenea.

TEOREMA CATETEI:într-un triunghi dreptunghic, lungimea catetei este egală cu media geometrică dintre lungimea ipotenuzei și proiecția sa pe ipotenuză.

TEOREMA ÎNĂLȚIMII:într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu media geometrică dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză.

Dacă într-un triunghi isoscel unghiurile alăturate bazei au măsura de 60°, atunci triunghiul este echilateral.

TEOREMA 30°—90°:într-un triunghi dreptunghic, dacă un unghi are măsura de 30°, atunci cateta opusă lui (cea care are unghiul alăturat de 60°) are lungimea sa egală cu

jumătate din lungimea ipotenuzei.

Perimetru și semiperimetru[modificare]

$P_{\triangle}=a+b+c \!$

$p_{\triangle}= \frac {P_\triangle}{2}$

Arie[modificare]

$A_{\triangle} \leq \frac {P^2_{\triangle}}{12\sqrt{3}}$ , iar $A_{\triangle ec}=\frac {P^2_{\triangle}}{12\sqrt{3}}$

$A_{\triangle}= \frac {l \cdot h_l}{2}$

$A_{\triangle dr}= \frac {xy}{2}$

$A_{\triangle ec}= \frac {l^2 \sqrt {3}}{4}$

$A_{\triangle}=pr$

$A_{\triangle}= \frac {abc}{4R}$

$A_{\triangle}= \frac{D^2 \cdot sin\alpha \cdot sin\beta \cdot sin \gamma}{2}$

$A_{\triangle}= \frac{ab \cdot sin(a;b)}{2}= \frac{bc \cdot sin(b;c)}{2}= \frac{ac \cdot sin(a;c)}{2}$

$A_{\triangle}=\frac{\sqrt{ab\cdot h_ah_b}}{2}=\frac{\sqrt{ac\cdot h_ah_c}}{2}=\frac{\sqrt{bc\cdot h_bh_c}}{2}$

$A_{\triangle}=\frac{a+b}{2(h^{-1}_a+h^{-1}_b)}=\frac{a+c}{2(h^{-1}_a+h^{-1}_c)}=\frac{b+c}{2(h^{-1}_b+h^{-1}_c)}$

$A_{\triangle}=\frac{Rh_bh_c}{a}=\frac{Rh_ah_c}{b}=\frac{Rh_ah_b}{c}$

FORMULA LUI HERON:

$A_{\triangle}=\frac{\sqrt {P(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)}}{4}$

$A_{\triangle} = \sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}$

ALTE FORME ALE FORMULEI LUI HERON:

$A_{\triangle}= \frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}}{4}$

$A_{\triangle}= \frac{\sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}}{4}$

$A_{\triangle}= \frac{\sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}}{4}$

FORMULE DERIVATE DIN FORMULA LUI HERON:

Un triunghi cu laturile de lungime a, b și respectiv c și unghiurile de măsura α, β și respectiv γ.

$A_{\triangle}=\frac{4\sqrt{\sigma(\sigma-m_a)(\sigma-m_b)(\sigma-m_c)}}{3}$

unde

$\sigma=\frac {m_a+m_b+m_c}{2}$

$A^{-1}_{\triangle}=4 \sqrt {H(H-h^{-1}_a)(H-h^{-1}_b)(H-h^{-1}_c)}$

unde

$H=\frac {h^{-1}_a+h^{-1}_b+h^{-1}_c}{2}$

$A_{\triangle}=D^2\sqrt{S(S-sin\alpha)(S-sin\beta)(S-sin\gamma)}$

unde $S=\frac{sin\alpha+sin\beta+sin\gamma}{2}$ , iar $D=\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}$

Alte formule

$h_{\triangle ec}= \frac {l \sqrt{3}}{2}$

$h_{\triangle dr}= \frac {xy}{i}$

$h_{\triangle dr}= \sqrt{pr_x \cdot pr_y}$ sau $h^2_{\triangle dr}=pr_x\cdot pr_y$

$h_{\triangle dr} \cdot i=xy$

$i^2=x^2 + y^2\,$ sau $i=\sqrt{x^2+y^2}$

$c= \sqrt {pr_c \cdot i}$ sau $c^2=pr_c \cdot i$

$m_i= \frac {i}{2}$

$m_a=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{2}$ ; $m_b=\frac{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}{2}$ ; $m_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}$

$m_a=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-\frac{3a^2}{4}}$ ; $m_b=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-\frac{3b^2}{4}}$ ; $m_c=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-\frac{3c^2}{4}}$